设 ∫ − ∞ ∞   e − x 2   d x = I \int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx = I ∫−∞∞​e−x2dx=I，而且 ∫ − ∞ ∞   e − y 2   d y = I \int_{-\infty}^\infty\,e^{-y^2}\,dy = I ∫−∞∞​e−y2dy=I

那么 I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞   e − ( x 2 + y 2 )   d x d y I^2=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\,e^{-{(x^2+y^2)}}\,dxdy I2=∫−∞∞​∫−∞∞​e−(x2+y2)dxdy

看到 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 小小激动一下，可以极坐标变换了

因为积分域为直角坐标系上 x x x和 y y y上的 − ∞ -\infty −∞到 ∞ \infty ∞，也就是整个坐标系的面积，那么换成极坐标系， r r r的范围就是 0 0 0到 ∞ \infty ∞， θ \theta θ的范围就是 0 0 0到 2 π 2\pi 2π，即

I 2 = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 ∞   e − r 2 r   d r = π I^2 = \int_0^{2\pi}\,d\theta\int_0^\infty\,e^{-r^2}r\,dr =\pi I2=∫02π​dθ∫0∞​e−r2rdr=π

因为 ∫ − ∞ ∞   e − x 2   d x \int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx ∫−∞∞​e−x2dx一定是大于0的，所以开根号后只保留正数就好了，即

I = π I=\sqrt \pi I=π ​

因为 e − x 2 e^{-x^2} e−x2是偶函数，所以如果积分域沿 y y y轴对称对称

∫ − ∞ 0   e − x 2   d x = ∫ 0 ∞   e − x 2   d x = π 2 \int_{-\infty}^0\,e^{-x^2}\,dx=\int_0^\infty\,e^{-x^2}\,dx=\frac {\sqrt \pi}{2} ∫−∞0​e−x2dx=∫0∞​e−x2dx=2π ​​